параметрическая форма уравнения прямой

Краткое описание

В геометрии прямая линия представляет собой совокупность обычных точек, которые соединяют любые две точки пространства отрезком небольшой длины. Он является неотъемлемой частью прямой. Все кривые линии, которые будут пересекаться в зафиксированных двух точках, в итоге получат большую длину, из-за чего они не могут называться прямыми. Понять все тонкости поможет универсальная параметризация (моделирование и проектирование с использованием параметров элементов модели и соотношений между ними).

В геометрии принято различать несколько разновидностей уравнений параметрического типа. С их помощью можно лаконично и правильно описать окружность прямой в двухмерном или трёхмерном пространстве. Специалисты различают следующие разновидности уравнений:

Лучше всего начать изучение параметрического уравнения прямой в пространстве на векторном примере.

Этот метод чаще всего используют в школах при объяснении темы. Нелишним также будет узнать связь параметрического уравнения с симметричным. В каждом случае действуют свои правила, которые нельзя оставлять без внимания.

Ключевые особенности

Представление прямой К в уравнении имеет обычную формулировку: в=в1+nr/c=c1+wr. В этом случае в1 и с1 являются координатами точки M1 на прямой К. Вектор q= считается направляющим элементом отрезка К. Используемый символ r отображает некоторый параметр.

При записи уравнения направляющий вектор не должен быть нулевым. Для самостоятельного построения отрезка на поверхности в декартовой прямоугольной системе координат, которая была задана соответствующими уравнениями, достаточно задать параметру r две разные величины, правильно вычислить в и с, а также провести через эти две точки прямые параллельные линии.

Чтобы составить нормальное уравнение прямой линии на плоскости К, достаточно иметь точку на этой линии и направляющий вектор (можно заменить двумя точками). В первом случае нужно все координаты точки и направляющего вектора вставить в конструкцию. Во второй ситуации необходимо первым делом найти направляющий вектор для прямой q=. Обязательно нужно вычислить разность точек М1 и М2: в=в2-в1, w=с2-с1. После этого остаётся только правильно подставить координаты одной из точек и направляющего вектора (q).

При желании также можно вывести формулу параметрического уравнения, когда одна линия проходит сразу через две точки. Для этого нужно подставить значения m= в2-в1, w=с2-с1. За счёт этого можно получить уравнение отрезка на плоскости, которая проходит через точки М1 (в1, с1) и М2 (в2, с2). Решение таких задач считается элементарным, но важно не запутаться во всех формулировках.

Значение векторного типа

Все разновидности примеров в геометрии тесно связаны друг с другом. В качестве основы для них выступает векторное уравнение, так как именно оно следует из определённой прямой. Для примера можно рассмотреть ситуацию, когда в пространстве дана точка Y (t0, e0, x0). По условиям известно, что она принадлежит прямой. В этом случае можно провести бесконечное количество линий.

Для проведения единственной прямой следует правильно задать направление, которое определяется вектором. Для обозначения можно задействовать v (a, b, c). Символы в скобках являются координатами. Для всех точек W (s, z, m), которые расположены на конкретной прямой, можно написать логическое равенство: (s, z, m) = (t0, e0, x0) + а*v — (a, b, c).

В приведённом примере был взят символ а, который может принимать любое значение. Если попробовать умножить вектор на определённое число, то в итоге можно будет изменить не только первоначальный модуль, но и направление. Это равенство принято называть векторным уравнением для прямой в трёхмерном пространстве. Если правильно оперировать параметром а, то в итоге можно получить все точки (s, z, m), которые сформируют одну линию.

Если нужно определиться с точкой Y (t0, e0, x0), то в качестве примера вместо неё можно задействовать произвольную точку, которая лежит на прямой. Когда приведённый пример сопоставить с двухмерной реальностью, можно будет получить следующую формулу: (s, z) = (t0, e0) + а * (a; b). Результат практически идентичен с предыдущим случаем, но только в этой ситуации применяются две координаты вместо привычных трёх для указания всех векторов и точек.

Универсальное каноническое уравнение

Специалистами было доказано, что все уравнения, которые задают прямую на плоскости и в пространстве, являются зависимыми друг от друга. Способ получения канонического уравнения из параметрического лучше рассмотреть на конкретном примере. Для пространственного случая свойственны следующие данные:

Теперь можно выразить необходимый параметр в каждом равенстве: g=(l — l0) / a; g=(e — e 0) / b; g=(s — s0) / c. Так как все левые части равенства являются идентичными, то правые тоже будут равны друг другу. Пример: g=(l — l0) / а=(e — e0) / b=(s — s0) / c. Он является обычным каноническим уравнением для прямой в пространстве. В каждом выражении значение определённого знаменателя представляет собой соответствующую координату направляющего вектора.

Из любой переменной обязательно вычитаются необходимые значения в числителе. Благодаря полученному результату можно построить уравнение таким образом, чтобы получить ответ в виде проекции на координатные плоскости.

Наглядный пример

Параметрическое уравнение прямой на плоскости можно получить в том случае, когда в полном объёме раскрыть векторный пример. Если всё сделать правильно, то в итоге можно получить следующие данные:

В этом случае представлена определённая совокупность трёхлинейных равенств, в каждом из которых есть только одна переменная координата и параметр j. Последний принято называть параметрическим уравнением обычных прямых линий в пространстве. Ничего нового введено не было, поскольку просто был записан смысл соответствующего векторного выражения.

Правильное решение параметрических уравнений в онлайн-режиме пользуется большим спросом, но для лучшего понимания этого направления в геометрии следует искать правильный ответ не только при помощи калькулятора, но и самостоятельно. Если внимательно изучить теорию, то можно сделать вывод, что параметризация прямой на плоскости идентична пространственному случаю. А это означает, что для составления уравнения параметрической прямой линии нужно записать для неё в явном виде векторное уравнение.

Задача с параметрическими прямыми на плоскости

Именно этот пример является актуальным, так как он чаще всего используется по отношению к прямоугольной системе координат. В задачах первого типа заданы определённые координаты точек, которые иногда могут принадлежать прямой, подробно описанной геометрическими уравнениями.

Задачи второго типа рассчитаны на то, что абитуриент составит необходимое геометрическое уравнение линии на плоскости в прямоугольной математической системе координат. Для поиска верного решения необходимо выполнить элементарный переход одной математической конструкции в другую. А вот в задачах третьего типа необходимо плавно преобразовать параметрические уравнения заданной прямой в иные виды уравнений, которые её определяют. В качестве примера следует изучить задачу.

Дана прямая линия в системе координат прямоугольного типа, которую можно определить обычным уравнением х=1-3/4*ϰ / у=-1+ϰ. Цель задачи: отыскать верные координаты какого-либо вектора прямой. Решение основано на том, что для достижения желаемого результата необходимо осуществить перевод к общему уравнению:

Коэффициенты х позволяют получить все необходимые координаты вектора. Это значит, что вектор прямой х=1-¾*ϰ /у=-1+ϰ после проделанных манипуляций будет иметь координаты 1, ¾.

Использование трёх точек

Такие задачи отличаются повышенной сложностью, поскольку для их решения необходимо обладать необходимыми знаниями. Для лучшего усвоения этой темы следует изучить следующий пример. По условиям задачи были даны координаты трёх точек:

Нужно правильно определить, лежат ли все эти точки на одной прямой линии. Первым делом необходимо выполнить следующие действия: составить уравнение прямой сразу для двух любых точек, а только после этого подставить координаты третьей точки, чтобы проверить, соответствуют ли они полученному равенству. Лучше всего в параметрической форме составить уравнение через H и D. Для решения лучше задействовать обычную формулу, которую подгоняют под трёхмерный случай. В итоге можно получить:

После этого остаётся только поочерёдно подставить в эти выражения координаты точки W и отыскать значение параметра альфа, который максимально им соответствует. Решение:

Проанализировав результат, можно понять, что все три равенства будут верны, но только в том случае, если каждое из них получит отличающееся от других значение параметра а. Конечно, последний факт логически противоречит условию параметрического геометрического уравнения прямой, в котором значение а должно быть равно для всех примеров. Это означает, что W прямой HD не принадлежит, из-за чего все три точки никак не могут лежать на одной плоскости.

Источник

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

В данной статье мы рассмотрим параметрическое уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения параметрического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в параметрическом виде в канонический и общий виды.

Параметрическое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

(1)

Отметим что при записи уравнения прямой в параметрическом виде, направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором, т.е хотя бы один координат направляющего вектора q должен быть отличным от нуля.

Для построения прямой на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат, заданной параметрическим уравнением (1), достаточно задать параметру t две разные значения, вычислить x и y и провести через эти точки прямую линию. При t=0 имеем точку M₁(x₁, y₁) при t=1, получим точку M₂(x₁+m, y₁+p).

Для составления параметрического уравнения прямой на плоскости L достаточно иметь точку на прямой L и направляющий вектор прямой или две точки, принадлежащие прямой L. В первом случае, для построения параметрического уравнения прямой нужно координаты точки и направляющего вектора вставить в уравнение (1). Во втором случае сначала нужно найти направляющий вектор прямой q=<m, p>, вычисляя разности соответствующих координатов точек M₁ и M₂: m=x₂−x₁, p=y₂−y₁(Рис.1). Далее, аналогично первому случаю, подставить координаты одной из точек (не имеет значение какой именно) и направляющего вектора q прямой в (1).

Можно также вывести формулу параметрического уравнения прямой, проходящей через две точки. Для этого подставим значения m=x₂−x₁, p=y₂−y₁ в (1), получим параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂):

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(3,−1) и имеет направляющий вектор q=<−3, 5>. Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Для построения параметрического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Пример 2. Прямая проходит через точки M₁=(−5, 2) и M₂=(−2, 3). Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Воспользуемся формулой (2). Подставим координаты точек M₁ и M₂ в уравнение (2):

Упростим полученное уравнение:

Приведение параметрического уравнения на плоскости к каноническому виду

Выразим параметр t в (1) через переменные x и y:

Из выражений (3), можем записать каноническое уравнение прямой на плоскости:

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 3. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к каноническому виду.

Решение: Выразим параметр t через переменные x и y:

Из выражений (5), можем записать:

Приведение параметрического уравнения на плоскости к общему виду

Для приведения параметрического уравнения прямой на плоскости к общему виду, в формулах (1) выразим из второго уравнения параметр t через переменную y и подставим в первое уравнение:

Умножим обе части уравнения (6) на p и группируем элементы уравнения:

Сделаем обозначения: A=p, B=−m, C=−px₁+my₁. Тогда получим общее уравнение прямой:

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к общему виду.

Решение: В уравнении (9) имеем: x₁=−5, y₁=0, m=4, p=−2. Подставим эти значения в формулу (7):

Упростив выражение (10) получим общее уравнение прямой (9):

Источник

Параметрические уравнения прямой на плоскости: описание, примеры, решение задач

Одним из подпунктов темы «Уравнение прямой на плоскости» является вопрос составления параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. В статье ниже рассматривается принцип составления подобных уравнений при определенных известных данных. Покажем, как от параметрических уравнений переходить к уравнениям иного вида; разберем решение типовых задач.

Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости

Конкретная прямая может быть определена, если задать точку, которая принадлежит этой прямой, и направляющий вектор прямой.

Уравнение M 1 M → = λ · a → называют векторно-параметрическим уравнением прямой.

В координатной форме оно имеет вид:

Уравнения полученной системы x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ носят название параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Суть названия в следующем: координаты всех точек прямой возможно определить по параметрическим уравнениям на плоскости вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при переборе всех действительных значений параметра λ

Составление параметрических уравнений прямой на плоскости

Решение

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Ответ: x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к прочим уравнениям заданной прямой и обратно

В решении некоторых задач применение параметрических уравнений является не самым оптимальным вариантом, тогда возникает необходимость перевода параметрических уравнений прямой в уравнения прямой другого вида. Рассмотрим, как же это сделать.

При этом не должно смущать, если a x или a y будут равны нулю.

Решение

Приравняем правые части системы уравнений и получим требуемое каноническое уравнение прямой на плоскости:

Решение

Для начала осуществим переход к каноническому уравнению:

Ответ: 3 x + 2 y + 3 = 0

Следуя вышеуказанной логике действий, для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом, уравнения прямой в отрезках или нормального уравнения прямой необходимо получить общее уравнение прямой, а от него осуществлять дальнейший переход.

Теперь рассмотрим обратное действие: запись параметрических уравнений прямой при другом заданном виде уравнений этой прямой.

Разрешим полученные уравнения относительно переменных x и y :

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Решение

Ответ: x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Когда необходимо осуществить переход к параметрическим уравнениям от заданного общего уравнения прямой, уравнения прямой с угловым коэффициентом или уравнения прямой в отрезках, необходимо исходное уравнение привести к каноническому, а после осуществлять переход к параметрическим уравнениям.

Решение

Заданное общее уравнение преобразуем в уравнение канонического вида:

Приравняем обе части равенства к параметру λ и получим требуемые параметрические уравнения прямой:

Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости

Рассмотрим чаще всего встречаемые типы задач с использованием параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.

Решение

Решение

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной прямой; точка N 0 не принадлежит заданной прямой.

Решение

Решение

Решение

Чтобы определить искомые координаты нормального вектора, осуществим переход от параметрических уравнений к общему уравнению:

Источник

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

Уравнение прямой в отрезках на осях

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁) и N( x ₂, y ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂ и y ₁ ≠ y ₂, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x ₀ y = m t + y ₀

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x ₀, y ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁, z ₁) и N( x ₂, y ₂, z ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂, y ₁ ≠ y ₂ и z ₁ ≠ z ₂, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x 0
	y = m t + y 0
	z = n t + z 0

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x ₀, y ₀, z ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

Источник

Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве

Материал этой статьи продолжает тему прямой в пространстве. От геометрического описания пойдем к алгебраическому: зададим прямую при помощи уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Приведем общую информацию, расскажем о видах уравнений прямой в пространстве и их связи между собой.

Уравнение прямой в пространстве: общие сведения

Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей

Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.

Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.

Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:

Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Подробнее изучить эту тему можно, обратившись к статье об уравнениях прямой в пространстве, уравнениях двух пересекающихся прямых.

Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.

Параметрические уравнения прямой в пространстве

x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 z = z 1 + a z · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 z = z 1

Рассмотрим конкретный пример:

Продолжение изучения этой темы можно найти в статье о параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой

Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.

Источник