Так называется операция над множествами результатом которой является множество включающее в себя все

Операция над множествами

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Содержание

Сравнение множеств

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A ), если каждый элемент A есть элемент B :

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:

Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись:

Операции над множествами

Бинарные операции

Ниже перечислены основные операции над множествами:

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Унарные операции

Результатом является кардинальное число (для конечных множеств — натуральное).

Обозначение происходит из того, что

Приоритет выполнения операций

Сначала выполняются операции дополнения, затем объединения, пересечения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.

Полезное

Смотреть что такое «Операция над множествами» в других словарях:

Операции над множествами — Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико множественными операциями или сет операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые … Википедия

Операции над нечёткими множествами — обобщают операции над обыкновенными множествами. Эти операции обычно определяются поэлементно над значениями функции принадлежности. Наиболее популярны операции пересечения и объединения нечётких множеств, определяемые, соответственно, операциями … Википедия

Операции над нечеткими множествами — Операции над нечёткими множествами обобщают операции над обыкновенными множествами. Эти операции обычно определяются поэлементно над значениями функции принадлежности. Наиболее популярны операции пересечения и объединения нечетких множеств,… … Википедия

Теория топосов — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Теория топосов раздел теории категорий, изучающий топосы категор … Википедия

Объединение (значения) — Объединение многозначный термин, входит в состав сложных терминов. В Викисловаре есть статья «объединение» Объединение разновидность организаций. Объединение общее название крупных воинских формирований … Википедия

ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — раздел теории множеств, изучающий внутреннее строение множеств в зависимости ют тех операций, при помощи к рых эти множества могут быть построены из множеств сравнительно простой природы (напр., замкнутых или открытых подмножеств данного… … Математическая энциклопедия

Множеств теория — учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Так, можно… … Большая советская энциклопедия

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ — точно определенное указание действий над данными, позволяющее с помощью цифровой вычислительной машины дискретного действия преобразовать за конечное количество операций нек рый массив данных (входные данные) в другой массив данных (выходные… … Математическая энциклопедия

Прямое произведение — Прямое или декартово произведение множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих… … Википедия

Источник

Теоретический материал на тему «Общие понятия теории множеств. Операции над множествами и их свойства.»

Множество – определенная совокупность объектов.

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества .

Множество домов на данной улице, множество натуральных чисел, множество студентов группы и т. д.

Множество не содержащее ни одного элемента называется пустым (обозначается: Ø).

Множества из элементов которого составляем конкретное множество называется универсальным ( обозначается: U ).

U – множество людей на земле, А – студенты группы Эп-305.

Тема 2.2. Способы задания множеств

Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать различными способами:

1) Перечислением всех элементов множества в фигурных скобках.

Р( x ) = x N x характеристический предикат.

M = < x : Р( x )> или M = < x : x N x

Множество M можно задать и перечислением его элементов:

Если множество состоит из небольшого количества элементов, то его удобно задавать перечислением всех элементов, если же элементов много или множество имеет бесконечное число элементов, то оно задается с помощью характеристического предиката.

Тема 2.3. Операции над множествами

Множество А называется подмножеством м ножества В, если все элементы множества А содержатся во множестве В.

# Пустое множество Ø является подмножеством всех множеств.

# Универсальное множество U содержит все множества.

# Если , то В надмножество А .

А=<0, 1, 2, 3>, В=<0, 1>, .

2) Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы обоих множеств.

.

3) Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из общих элементов обоих множеств.

А=<К, А, Т, Я>, В=<К, О, С, Т, Я>, =<К, Т, Я>.

4) Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А не содержащихся в В.

5) Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А не содержащихся в В и всех элементов множества В не содержащихся в А.

,

Степенью множества называется декартовое произведение множества A само на себя n раз.

, .

Свойства операций над множествами

4) Закон поглощения.

А Ø = А

А Ø = Ø

8) Свойство единицы.

9) Закон де Моргана

Мощностью к онечного множества называется число его элементов.

Мощность множества X обозначается: | X |

Источник

Операции над множествами

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Сравнение множеств

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:

.

В этом случае A называется подмножеством B, B — надмножеством A. Если и , то A называется собственным подмножеством В. Заметим, что . По определению .

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:

Операции над множествами

Ниже перечислены основные операции над множествами:

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Источник

Операции над множествами

Пересечение множеств

Рассмотрим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Видим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла.

Говоря на языке множеств, элементы Том и Фред принадлежат как множеству друзей Джона, так и множеству друзей Майкла.

Зададим новое множество с названием «Общие друзья Джона и Майкла» и в качестве элементов добавим в него Тома и Фреда:

В данном случае множество «Общие друзья Джона и Майкла» является пересечением множеств друзей Джона и Майкла.

Пересечением двух (или нескольких) исходных множеств называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из исходных множеств.

В нашем случае элементы Том и Фред принадлежат каждому из исходных множеств, а именно: множеству друзей Джона и множеству друзей Майкла.

Обозначим множество друзей Джона через букву A, множество друзей Майкла — через букву B, а множество общих друзей Джона и Майкла обозначим через букву C:

Тогда пересечением множеств A и B будет множество C и записываться следующим образом:

Символ ∩ означает пересечение.

Говоря о множестве, обычно подразумевают элементы, принадлежащие этому множеству. Символ пересечения ∩ читается, как союз И. Тогда выражение A ∩ B = C можно прочитать следующим образом:

«Элементы, принадлежащие множеству A И множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C».

«Друзья, одновременно принадлежащие Джону И Майклу, есть общие друзья Джона и Майкла».

Теперь представим, что у Джона и Майкла нет общих друзей. Для удобства, как и прежде обозначим множество друзей Джона через букву A, а множество друзей Майкла через букву B

В этом случае говорят, что исходные множества не имеют общих элементов и пересечением таких множеств является пустое множество. Пустое множество обозначается символом ∅

Пример 2. Рассмотрим два множества: множество A, состоящее из чисел 1, 2, 3, 5, 7 и множество B, состоящее из чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18

Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Множество С является пересечением множеств A и B, поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Пример 3. Рассмотрим два множества: множество A, состоящее из чисел 1, 5, 7, 9 и множество B, состоящее из чисел 1, 4, 5, 7

Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Множество С является пересечением множеств A и B, поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B.

Пример 4. Найти пересечение следующих множеств:

Пересечением множеств A, B и C будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств A, B и C. Этими элементами являются числа 3 и 9.

Зададим новое множество D и добавим в него элементы 3 и 9. Затем с помощью символа пересечения ∩ запишем, что пересечением множеств A, B и C является множество D

Чтобы найти пересечение, вовсе необязательно задавать множества с помощью букв. Если элементов мало, то множество можно задать прямым перечислением элементов.

К примеру, пусть первое множество состоит из элементов 1, 3, 5, а второе из элементов 2, 3, 5. Пересечением в данном случае является множество, состоящее из элементов 3 и 5. Чтобы записать пересечение, можно воспользоваться прямым перечислением:

Числовые промежутки, которые мы рассмотрели в предыдущих уроках, тоже являются множествами. Элементами таких множеств являются числа, входящие в числовой промежуток.

Например, отрезок [2; 6] можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие данному отрезку:

Следует иметь ввиду, что мы перечислили только целые числа. Отрезку [2; 6] также принадлежат и другие числа, не являющиеся целыми, например, десятичные дроби. Десятичные дроби располагаются между целыми числами, но их количество настолько велико, что перечислить их не представляется возможным.

Еще пример. Интервал (2; 6) можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6, кроме чисел 2 и 6. Ранее мы говорили, что интервал это такой числовой промежуток, границы которого не принадлежат ему. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие интервалу (2; 6):

Поскольку числовые промежутки являются множествами, то мы можем находить пересечения между различными числовыми промежутками. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 5. Даны два числовых промежутка: [2; 6] и [4; 8]. Найти их пересечение.

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [2; 6] и [4; 8]:

Видно, что числа 4, 5, 6 принадлежат как первому промежутку [2; 6], так и второму [4; 8].

Тогда пересечением числовых промежутков [2; 6] и [4; 8] будет числовой промежуток [4; 6]

Изобразим промежутки [2; 6] и [4; 8] на координатной прямой. На верхней области отметим числовой промежуток [2; 6], на нижней — промежуток [4; 8]

Видно, что числа, принадлежащие промежутку [4; 6], принадлежат как промежутку [2; 6], так и промежутку [4; 8]. Можно также заметить, что штрихи, входящие в промежутки [2; 6] и [4; 8] пересекаются в промежутке [4; 6]. В такой ситуации, когда перед глазами есть координатная прямая, понятие пересечения множеств можно понимать в прямом смысле, что очень удобно.

Пример 6. Найти пересечение числовых промежутков [−2; 3] и [4; 7]

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [−2; 3] и [4; 7]:

Видно, что числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] не имеют общих чисел. Поэтому их пересечением будет пустое множество:

Если изобразить числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

Пример 7. Дано множество из одного элемента < 2 >. Найти его пересечение с промежутком (−3; 4)

Множество, состоящее из одного элемента < 2 >, на координатной прямой изображается в виде закрашенного кружка, а числовой промежуток (−3; 4) это интервал, границы которого не принадлежат ему. Значит границы −3 и 4 будут изображаться в виде пустых кружков:

Пересечением множества < 2 >и числового промежутка (−3; 4) будет множество, состоящее из одного элемента < 2 >, поскольку элемент 2 принадлежит как множеству < 2 >, так и числовому промежутку (−3; 4)

На самом деле мы уже занимались пересечением числовых промежутков, когда решали системы линейных неравенств. Вспомните, как мы решали их. Сначала находили множество решений первого неравенства, затем множество решений второго. Затем находили множество решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

По сути, множество решений, удовлетворяющих обоим неравенствам, является пересечением множеств решений первого и второго неравенства. Роль этих множеств берут на себя числовые промежутки.

Например, чтобы решить систему неравенств , мы должны сначала найти множества решений каждого неравенства, затем найти пересечение этих множеств.

В данном примере решением первого неравенства x ≥ 3 является множество всех чисел, которые больше 3 (включая само число 3). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток [3; +∞)

Решением второго неравенства x ≤ 6 является множество всех чисел, которые меньше 6 (включая само число 6). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток (−∞; 6]

А общим решением системы будет пересечение множеств решений первого и второго неравенства, то есть пересечение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Если мы изобразим множество решений системы на координатной прямой, то увидим, что эти решения принадлежат промежутку [3; 6], который в свою очередь является пересечением промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Поэтому в качестве ответа мы указывали, что значения переменной x принадлежат числовому промежутку [3; 6], то есть пересечению множеств решений первого и второго неравенства

Пример 2. Решить неравенство

Все неравенства, входящие в систему уже решены. Нужно только указать те решения, которые являются общими для всех неравенств.

Решением первого неравенства является числовой промежуток (−∞; −1).

Решением второго неравенства является числовой промежуток (−∞; −5).

Решением третьего неравенства является числовой промежуток (−∞; 4).

Решением системы будет пересечение числовых промежутков (−∞; −1), (−∞; −5) и (−∞; 4). В данном случае этим пересечением является промежуток (−∞; −5).

На рисунке представлены числовые промежутки и неравенства, которыми эти числовые промежутки заданы. Видно, что числа, принадлежащие промежутку (−∞; −5), одновременно принадлежат всем исходным промежуткам.

Запишем ответ к системе с помощью числового промежутка:

Пример 3. Решить неравенство

Решением первого неравенства y > 7 является числовой промежуток (7; +∞).

Решением второго неравенства y Объединение множеств

Объединением двух (или нескольких) исходных множеств называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.

На практике объединение множеств состоит из всех элементов, принадлежащих исходным множествам. Поэтому и говорят, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств.

Рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3 и множество B с элементами 4, 5, 6.

Зададим новое множество C и добавим в него все элементы множества A и все элементы множества B

В данном случае объединением множеств A и B является множество C и обозначается следующим образом:

Символ ∪ означает объединение и заменяет собой союз ИЛИ. Тогда выражение A ∪ B = C можно прочитать так:

Элементы, принадлежащие множеству A ИЛИ множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C.

В определении объединения сказано, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Данную фразу можно понимать в прямом смысле.

Вернёмся к созданному нами множеству C, куда входят все элементы множеств A и B. Возьмём для примера из этого множества элемент 5. Что можно про него сказать?

Если 5 является элементом множества C, а множество С является объединением множеств A и B, то можно с уверенностью заявить, что элемент 5 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Так оно и есть:

Источник