для чего нужна теорема пифагора
Теорема Пифагора
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.
Формула Теоремы Пифагора выглядит так:
где a, b — катеты, с — гипотенуза.
Из этой формулы можно вывести следующее:
Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:
Теорема Пифагора: доказательство
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.
Пошаговое доказательство:
a 2 + b 2 = c * HB + c * AH
a 2 + b 2 = c * (HB + AH)
Обратная теорема Пифагора: доказательство
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.
Дано: ∆ABC
Доказать: ∠C = 90º
Пошаговое доказательство:
Обратная теорема доказана.
Решение задач
Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?
значит c 2 = a 2 + b 2 = 6 2 + 10 2 = 36 + 100 = 136
Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?
Ответ: треугольник не является прямоугольным.
Better Explained: удивительные применения теоремы Пифагора
Мы привыкли думать, что теорема Пифагора — это что-то про геометрию и треугольники. На самом деле область её применения гораздо шире, и автор ресурса Better Explained готов это доступно объяснить.
Теорема Пифагора — настоящая знаменитость в мире математики: уж если её формула засветилась в сериале «Симпсоны», она точно известна всем.
Большинство считает, что формула теоремы Пифагора применима только в геометрии и только к треугольникам. Скорее всего, при упоминании этой теоремы вы вспоминаете что-то такое:
А теперь вдумайтесь: теорема Пифагора работает для любых фигур и для всех квадратных уравнений.
Если вы продолжите читать статью, вы узнаете, как эта теорема возрастом в 2,5 тысячи лет может помочь нам разобраться в информационных технологиях, физике и даже в полной мере оценить силу социальных сетей.
Идём к пониманию площади
Всегда увлекательно посмотреть на привычное под новым углом. К примеру, до написания этой статьи я никогда не задумывался о глубинном понятии такого явления, как «площадь фигуры». Да, мы можем помнить формулы, но вот понимаем ли мы саму природу площади?
Удивительно, но площадь любой фигуры может быть вычислена путём возведения в квадрат любого линейного сегмента. Линейный сегмент — это отрезок прямой, который мы выбираем в геометрической фигуре. Например, в качестве линейного сегмента квадрата мы выбрали сторону. Тогда площадью квадрата является квадрат его стороны (сторона = 5, площадь = 25). В качестве линейного сегмента круга можно взять радиус, и тогда площадью круга будет являться число π, умноженное на квадрат его радиуса (радиус = 5, площадь = 25π). Куда проще?
Мы можем взять любой линейный сегмент и с его помощью вычислить площадь: каждый линейный сегмент, возведённый в квадрат, даст нам величину площади фигуры, если его помножить на определённый коэффициент. Так мы получаем универсальную формулу расчёта площади фигуры:
Площадь фигуры = Коэффициент * (линейный сегмент)²
Посмотрите на диагональ d квадрата. Сторона квадрата при этом будет вычисляться как d, поделённая на √2. В этом случае площадь квадрата будет вычисляться как 1/2 d². Если мы хотим использовать диагональ фигуры в качестве линейного сегмента, нашим коэффициентом будет являться число 1/2.
А теперь в качестве линейного сегмента используем периметр p. Сторона квадрата — это p/4, значит, его площадь вычисляется по формуле p²/16. В этом случае коэффициентом для p² будет являться 1/16.
А можно взять вообще любой линейный сегмент?
А как же! Между «традиционным» сегментом (ну, например, стороной квадрата) и любым другим по вашему вкусу (скажем, периметром) всегда существует взаимосвязь (несложно догадаться, что периметр будет равен четырём сторонам квадрата). Если мы можем конвертировать новый сегмент в традиционный, площадь вычисляется легко — изменится лишь коэффициент в уравнении.
А можно взять вообще любую геометрическую фигуру?
Почти. Универсальная формула работает для всех подобных фигур — тех, что являются увеличенными или уменьшенными версиями одной и той же фигуры. Ну, например:
Все квадраты похожи друг на друга (площадь квадрата — всегда квадрат одной его стороны). Все круги похожи друг на друга (площадь круга — всегда π*r²). Треугольники не похожи друг на друга: они бывают вытянутыми или плоскими, «толстенькими» и «тоненькими», и у каждого треугольника — свой коэффициент для вычисления площади в зависимости от того, какой линейный сегмент вы выбрали. Измените форму треугольника, изменится и уравнение.
В целом все треугольники подчиняются правилу «площадь = 1/2 основания * высоту». Но отношения между основанием и высотой зависят от вида треугольника, поэтому и коэффициент в универсальной формуле будет всегда разным.
Почему для сохранения универсальности уравнения необходимы подобные фигуры? Интуитивно понятно, что при масштабировании фигуры вы меняете её размер, но сохраняете пропорции. Периметр квадрата всегда будет вычисляться умножением размера его стороны на 4.
Поскольку коэффициент в формуле площади основывается на отношениях между элементами фигуры, формула будет работать для всех фигур с одинаковыми пропорциями (подобными фигурами). Это как сказать, что полный размах рук человека приблизительно соответствует его росту — вне зависимости от того, кто перед нами, ребёнок или баскетболист.
Так вот, основная концепция расчёта площади фигуры может быть выражена в следующих трёх постулатах:
Интуитивное понимание теоремы Пифагора
Никто не спорит с тем, что теорема Пифагора работает. Но почти все её доказательства основаны на механических действиях: переставляем местами фигуры, и вуаля! — уравнение всё равно работает. Давайте подумаем: вам правда интуитивно понятно, что уравнение должно выглядеть как a² + b² = c²? А почему не 2a² + b² = c²? Давайте попробуем найти в этом смысл.
Для начала нам понадобится осознать и принять удивительный факт: любой прямоугольный треугольник можно разбить на два подобных прямоугольных треугольника.
Круто, да? Всего один опущенный перпендикуляр, и один треугольник превращается в две свои маленькие копии.
Собственно, этот пример говорит нам об очень простой вещи:
Площадь (чего-то большого) = Площадь (кое-чего среднего) + Площадь (кое-чего поменьше)
Маленькие треугольники были получены из большого, поэтому мы просто складываем их площади. И да, самое главное: поскольку треугольники подобны, для них действует одна и та же формула вычисления площади.
Давайте назовём длинную сторону (с длиной 5) — с, среднюю сторону (с длиной 4) — b, и короткую сторону (с длиной 3) — a. Формула площади для этих треугольников выглядит так:
Площадь = F*гипотенуза²,
где F — это множитель (в этом случае — 6/25 или 0,24). С формулой можно поиграть:
Площадь (чего-то большого) = Площадь (кое-чего среднего) + Площадь (кое-чего поменьше)
Fc² = Fb² + Fa²
Просто уберите F, и вы получите:
c² = b² + a²
Ой, так это же наша любимая теорема! Мы знали, что она нас не подведёт, но теперь мы понимаем, почему:
Конечно, теорема Пифагора работает только в Евклидовой геометрии и не может применяться, например, к сферам. Но об этом нужно поговорить в другой раз.
Применение теоремы: Возьмём любую фигуру
Ранее мы использовали простую плоскую фигуру — треугольник. Но ведь линейный сегмент можно извлекать из абсолютно любой фигуры. Возьмём, к примеру, круг. На изображении мы видим три разных круга с радиусами, равными сторонам нашего пифагоровского треугольника.
Можно ли с большим кругом поступить так же, как мы поступили с большим треугольником — сложить площади меньших кругов? При этом мы будем помнить, что площадь каждого маленького круга мы можем высчитать, используя квадрат известного нам линейного сегмента, умноженный на конкретный коэффициент — в данном случае это будет число Пи.
Да-да, всё верно: Площадь круга радиусом 5 = Площадь круга радиусом 4 + Площадь круга радиусом 3.
Мы запросто подставляем в формулу нужный коэффициент, и она всё ещё работает.
Помните, что в качестве линейного сегмента может выступать любой элемент плоской фигуры. Вы могли выбрать радиус, диаметр или длину окружности — изменился бы только коэффициент, но отношения 3-4-5 остались бы неизменными.
Теорема Пифагора позволяет находить соотношение площадей любых подобных фигур. Это то, чему нас не учат в школе.
Применение теоремы: сохранение квадратов
Теорема Пифагора применяется к любому квадратному уравнению. Подобно тому, как вы разбиваете треугольники, вы можете разбить квадрат любого количества чего угодно (c²) на более малые его доли (a²+b²). Этим «чем угодно» может быть расстояние, энергия, человекочасы, время или количество пользователей в социальной сети.
Социальные сети.
Есть такой закон — закон Меткалфа, формулирующий уровень полезности социальной сети: он говорит, что ценность социальной сети растёт в квадратичной зависимости от количества пользователей в ней. Например:
Сеть из 50 млн. пользователей = Сеть из 40 млн. пользователей + Сеть из 30 млн. пользователей
Кажется удивительным, что полезность социальной сети в 50 миллионов человек выражается через полезность двух соцсетей, в сумме имеющих 70 миллионов человек, но это на самом деле так. Социальная сеть растёт нелинейно.
Информационные технологии.
Некоторым программам требуется n² времени для обработки n запросов. Другими словами:
50 запросов = 40 запросов + 30 запросов
Удивительно, но 70 элементов данных, разбитые на две группы, будут обработаны так же быстро, как одна группа из 50 элементов. Именно поэтому имеет смысл сортировать элементы по группам и подгруппам. Эта особенность используется почти во всех алгоритмах сортировки. Теорема Пифагора помогает понять, почему сортировка 50 элементов сразу менее эффективна, чем сортировка этого же количества элементов по отдельности.
Площадь поверхности.
Площадь поверхности сферы определяется как 4πr². Что это значит?
Площадь радиусом 50 = Площадь радиусом 40 + Площадь радиусом 30
В жизни нам встречается не так уж и много сфер, но вот портовым работникам это знание весьма полезно (в конце концов, корпус любого судна — это деформированная сфера). Количеством краски, необходимой для 50-тифутовой яхты, можно окрасить две яхты длиной 40 и 30 футов.
Физика.
Если вспомнить школьные уроки физики, можно привести в пример формулу расчёта кинетической энергии объекта массой m при скорости v: 1/2mv². Применяем теорему Пифагора.
Энергия при скорости в 500 км/ч = Энергия при скорости в 400 км/ч + Энергия при скорости в 300 км/ч
Значит, одного и того же количества энергии хватает либо на запуск одного предмета на скорости 500 км/ч, либо на запуск двух других на меньшей скорости.
Попробуйте сами
В теорему Пифагора можно подставлять абсолютно любые цифры. Она может помочь нам и в повседневной жизни. Например, мы никак не можем выбрать: заказать большую пиццу диаметром 50 см или две диаметром 30 см? Мы с теоремой уже знакомы хорошо и нас не обмануть: площадь одной пиццы в 50 см будет действительно больше, чем площадь двух пицц по 30 см в диаметре (можете проверить, мы не обманываем). Всегда можно подставить другие цифры, а для ленивых есть простой и удобный калькулятор.
Наслаждайтесь
Со школьной скамьи мы уверены, что теорема Пифагора — это что-то о треугольниках и геометрии. Мы с вами вместе убедились, что это не так.
Помните, что стороны прямоугольного треугольника могут превратиться в линейный сегмент любой фигуры, и стать переменными в любом квадратном уравнении. И это ошеломительно.
Спасибо великолепной статье на BetterExplained.
Для чего нужна теорема пифагора
Введение
В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы Пифагора не рассматривается.
В связи с этим, целью моей работы было выяснить области применения теоремы Пифагора.
В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.
Гипотеза:
С помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи.
По данной исследовательской работе определена следующая цель:
Выяснить области применения теоремы Пифагора.
Исходя из вышеназванной цели, были обозначены следующие задачи:
Собрать информацию о практическом применении теоремы Пифагора в различных источниках и определить области применения теоремы.
Изучить некоторые исторические сведения о Пифагоре и о его теореме.
Показать применение теоремы при решении исторических задач.
Обработать собранные данные по теме.
Я занималась поиском и сбором информации – изучала печатный материал, работала с материалом в интернете, обработкой собранными данными.
Методика исследования:
Изучение теоретического материала.
Изучение методик исследования.
Практическое выполнение исследования.
Коммуникативный (метод измерения, анкетирование).
Вид проекта: информационно-исследовательский. Работа выполнялась в свободное время.
О Пифагоре.
Пифагор – древнегреческий философ, математик, астроном. Обосновал многие свойства геометрических фигур, разработал математическую теорию чисел и их пропорций. Внёс значительный вклад в развитие астрономии и акустики. Автор «Золотых стихов», основатель пифагорейской школы в Кротоне.
Следует отметить, что это один из вариантов его биографии. Точные даты его рождения и смерти не установлены, многие факты его жизни противоречивы. Но ясно одно: этот человек жил, и оставил потомкам большое философское и математическое наследие.
Теорема Пифагора.
Открытие этого утверждения приписывают Пифагору Самосскому (XII в. до н. э.)
Изучение вавилонских клинописных табличек и древних китайских рукописей (копий еще более древних манускриптов) показало, что знаменитая теорема была известна задолго до Пифагора, возможно несколько тысячелетий до него.
(Но есть предположение, что Пифагор дал ее полноценное доказательство)
Но есть и другое мнение: в пифагорейской школе был замечательный обычай приписывать все заслуги Пифагору и несколько не присваивать себе славы первооткрывателей, кроме, может быть нескольких случаев.
(Ямвлих-сирийский грекоязычный писатель, автор трактата «Жизнь Пифагора». (II век н. э)
Так немецкий историк математики Кантор считает, что равенство 3 2 + 4 2= 5 2 было
известно египтянам около 2300 лет до н. э. во времена царя Аменехмета (согласно папирусу 6619 Берлинского музея ). Одни полагают, что Пифагор дал теореме полноценное доказательство, а другие отказываю ему в этой заслуге.
Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводил в своих «Началах». С другой стороны Прокл (математик, 5 века) утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежало самому Евклиду, то есть история математики почти не сохранила достоверных данных о математической деятельности Пифагора. В математике, пожалуй, не найти никакой другой теоремы, заслуживающей всевозможных сравнений.
В некоторых списках «Начал» Евклида эта теорема назвалась «теоремой нимфы» за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой(«теорема бабочки»), что по гречки назвалось нимфой. Этим словом греки назвали еще некоторых богинь, а также молодых женщин и невест. Арабский переводчик не обратил внимания на чертеж и перевел слово «нимфа» как «невеста». Так появилось ласковое название «теорема невесты». Существует легенда, что когда Пифагор Самосский доказал свою теорему, он отблагодарил богов, принеся в жертву 100 быков. Отсюда еще одно название- «теорема ста быков».
В англоязычных странах ее назвали: «ветряная мельница», «павлиний хвост», «кресло невесты», «ослиный мост» (если ученик не мог через него «перейти», значит, он был настоящим « ослом»)
В дореволюционной России рисунок теоремы Пифагора для случая равнобедренного треугольника называли «пифагоровыми штанами».
Эти «штаны» появляются, когда на каждой стороне прямоугольного треугольника построить квадраты во внешнюю сторону.
Сколько существует различных доказательств теоремы Пифагора?
Со времен Пифагора их появилось более 350.Теорема попала в Книгу рекордов Гиннеса. Если проанализировать доказательства теоремы, то принципиально различных идей в них используется немного.
Области применения теоремы.
Широкое применение имеет при решении геометрических задач.
Именно с ее помощью, можно геометрически находить значения квадратных корней из целых чисел:
Для этого строим прямоугольный треугольник АОВ (угол А равен 90°) с единичными катетами. Тогда его гипотенуза √2. Затем строим единичный отрезок ВС, ВС перпендикулярен ОВ, длина гипотенузы ОС=√3 и т.д.
(этот способ встречаем у Евклида и Ф. Киренского).
Задачи в курсе физики средней школы требуют знания теоремы Пифагора.
Это задачи связанные со сложением скоростей.
Обратите внимание на слайд: задача из учебника физики 9 класса. В практическом смысле её можно сформулировать так: под каким углом к течению реки должен двигаться катер, осуществляющий перевозку пассажиров между пристанями, чтобы уложиться в расписание?(пристани находятся на противоположных берегах реки)
Когда биатлонист стреляет по мишени, он делает «поправку на ветер». Если ветер дует справа, а спортсмен стреляет по прямой, то пуля уйдёт влево. Чтобы попасть в цель, надо сдвинуть прицел вправо на расстояние смещения пули. Для них составлены специальные таблицы (на основе следствий из т. Пифагора). Биатлонист знает, на какой угол смещать прицел при известной скорости ветра.
Какой путь проходит луч? Свет идет туда и обратно одинаковый путь. Чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид
Это ведь произведение затраченного времени на скорость!
Теперь попробуем взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. При таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.
Вопрос: на сколько успеет сместиться точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Точнее: чему равна половина данного смещения? Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t’, а половину расстояния AC буквой d, то получим наше уравнение в виде:
Буквой v обозначена скорость движения космического корабля.
Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света? (Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?)
Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получим уравнение:
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l, которое мы ввели при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно l, то оно не могло повлиять не нее.
Это ведь теорема Пифагора!
Явление звёздной аберрации, открытое в 1729 году, заключается в том, что все звёзды на небесной сфере описывают эллипсы. Большая полуось этих эллипсов наблюдается с Земли под углом, равным 20,5 градуса. Такой угол связан с движением Земли вокруг Солнца со скоростью 29,8 км в час. Чтобы с движущейся Земли наблюдать звезду, необходимо наклонить трубу телескопа вперёд по движению звезды, так как пока свет проходит длину телескопа, окуляр вместе с землёй перемещается вперёд. Сложение скоростей света и Земли производится векторно, используя т.
Пифагора. U 2 =C 2 +V 2
В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы, которые долгое время считались искусственными). Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.
Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду, и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.
Мобильная связь
Кто в современном мире не пользуется сотовым телефоном? Каждый абонент мобильной связи заинтересован в ее качестве. А качество в свою очередь зависит от высоты антенны мобильного оператора. Чтобы рассчитать, в каком радиусе можно принимать передачу, применяем теорему Пифагора.
Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)
Решение:
Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB=OA+ABOB=r + x.
Используя теорему Пифагора, получим Ответ: 2,3 км.
При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.
Решение:
А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м.
Б) Из треугольника ABF:
Окна
В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны
ширине окна (b) для наружных дуг
половине ширины, (b/2) для внутренних дуг
Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и
положение ее центра.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем:
(b/4+p) 2 =( b/4) 2 +( b/4-p) 2
Разделив на b и приводя подобные члены, получим:
В лесной промышленности: для потребностей строительства бревна распиливают на брус, при этом главная задача – получить как можно меньше отходов. Наименьшее число отходов будет тогда, когда брус имеет наибольший объем. Что же должно быть в сечении? Как видно из решения сечение должно быть квадратным, а теорема Пифагора и другие рассуждения позволяют сделать такой вывод.
Брус наибольшего объема
Задача
Из цилиндрического бревна надо выпилить прямоугольный брус наибольшего объема. Какой формы должно быть его сечение (рис. 23)?
Решение
Если стороны прямоугольного сечения х и y, то по теореме Пифагора
Итак, сечение бруса должно быть квадратным.
Транспортные задачи ( так называемые задачи на оптимизацию; задачи, решение которых позволяет ответить на вопрос: как располагать средствами для достижения большой выгоды)
Как рассчитать высоту шкафа-купе?
На первый взгляд ничего особенного: снять размеры высоты от пола до потолка в нескольких точках, отнять несколько сантиметров, чтобы шкаф не упирался в потолок. Поступив так, в процессе сборки мебели могут возникнуть трудности. Ведь сборка каркаса мебельщики выполняют, располагая шкаф в горизонтальном положении, а когда каркас собран, поднимают его в вертикальное положение. Рассмотрим боковую стенку шкафа. Высота шкафа должна быть на 10 см меньше расстояния от пола до потолка при условии, что это расстояние не превышает 2500 мм. А глубина шкафа – 700 мм. Почему на 10 см, а не на 5 см или на 7, и причем здесь теорема Пифагора?
Итак: боковая стенка 2500-100=2400(мм)- максимальная высота конструкции.
Боковая стенка в процессе подъема каркаса должна свободно пройти как по высоте, так и по диагонали. По теореме Пифагора
АС= √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (мм)
Что произойдет если высоту шкафа уменьшить на 50 мм?
АС= √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (мм)
Диагональ 2548 мм. Значит, шкаф не поставишь (можно испортить потолок).
Молниеотвод.
Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
По теореме Пифагора h 2 ≥ a 2 +b 2, значит h≥(a 2 +b 2) 1/2
Срочно на дачном участке надо сделать парник для рассады.
Из досок сбит квадрат 1м1м. Имеются остатки пленки размером 1,5м1,5м. На какой высоте в центре квадрата надо закрепить рейку, чтобы плёнка полностью его покрыла?
1)Диагональ парника d==1,4;0,7
2)Диагональ плёнки d1=2,12 1,06
3) Высота рейки x=0,7
Заключение
В результате исследования я выяснила некоторые области применения теоремы Пифагора. Мной собрано и обработано много материала из литературных источников и интернета по данной теме. Я изучила некоторые исторические сведения о Пифагоре и его теореме. Да, действительно, с помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи. Теорема Пифагора нашла свое применение в строительстве и архитектуре, мобильной связи, литературе.
Изучение и анализ источников информации о теореме Пифагора
показал, что:
а) исключительное внимание о стороны математиков и любителей математики к теореме основано на ее простоте, красоте и значимости;
б) теорема Пифагора на протяжении многих веков служит толчком к интересным и важным математическим открытиям (теорема Ферма, теория относительности Эйнштейна);
в) теорема Пифагора – является воплощением универсального языка математики, справедливого во всем мире;
г) область применения теоремы достаточно обширная и вообще не может быть указана с достаточной полнотой;
д) тайны теоремы Пифагора продолжают волновать человечество и поэтому каждому из нас дают шанс быть причастным к их раскрытию.
Библиография
«Успехи математических наук», 1962, т. 17, № 6 (108).
Александр Данилович Александров (к пятидесятилетию со дня рождения),
Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 10 – 11 кл. – М.: Просвещение, 1992.
Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 10 – 11 кл. – М.: Просвещение, 1992.
Владимиров Ю.С. Пространство – время: явные и скрытые размерности. – М.: «Наука», 1989.
Волошин А.В. Пифагор. – М.: Просвещение, 1993.
Газета «Математика», № 21, 2006.
Газета «Математика», № 28, 1995.
Геометрия: Учеб. Для 7 – 11 кл. сред.шк./ Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. – М.: Просвещение, 1992.
Геометрия: Учеб.для 7 – 9 кл. общеобразоват. Учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 1996.
Глейзер Г.И. История математики в школе: IX – Xкл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.
Дополнительные главы к школьному учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996.
Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961.
Киселёв А.П., Рыбкин Н.А. Геометрия: Планиметрия: 7 – 9 кл.: Учебник и задачник. – М.: Дрофа, 1995.
Клайн М. Математика. Поиск истины: Перевод с англ. / Под ред. и предисл. В.И. Аршинова, Ю.В. Сачкова. – М.: Мир, 1998.
Литурман В. Теорема Пифагора. – М., 1960.
Математика: Справочник школьника и студента / Б. Франк и др.; Перевод с нем. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2003.
Пельтуер А. Кто вы Пифагор? – М.: Знание – сила, № 12, 1994.
Перельман Я. И. Занимательная математика. – М.: «Наука», 1976.
Пономарёва Т.Д. Великие учёные. – М.: ООО «Издательство Астрель», 2002.
Свешникова А. Путешествие в историю математики. – М., 1995.
Семёнов Е.Е. Изучаем геометрию: Кн. Для учащихся 6 – 8 кл. сред.шк. – М.: Просвещение, 1987.
Смышляев В.К. О математике и математиках. – Марийское книжное издательство, 1977.
Тучнин Н.П. Как задать вопрос. – М.: Просвещение, 1993.
Черкасов О.Ю. Планиметрия на вступительном экзамене. – М.: Московский лицей, 1996.
Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1985.
Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. /Глав. Ред. М.Д. Аксёнова. – М.: Аванта +, 2001.